星系或城市的邮编定律的示意图。左侧是模拟的人口分布，较深的斑点表示较高的密度；右边的粉红色是人口密度超过某个临界值的位置。粉红簇的分布符合齐普夫定律。
抽象的：人的空间分布表现出从家庭（102 km）到大陆（104 km）尺度∼的−各种尺度的聚类∼。经验数据表明，简单的幂律定标适用于城市规模分布（称为齐普夫定律），而人口密度波动是规模的函数。使用随机场理论和统计物理学的技术，我们证明这些幂定律从根本上来说是人类无标度空间聚类以及人类居住在二维表面这一事实的结果。从这个意义上说，两个空间维度上尺度不变的对称性与城市社会学紧密相连。我们通过经验测量人口密度波动的功率谱来检验我们的理论，并显示对数斜率= α2.040.09，±与我们的理论预测= 2非常吻α合。该模型通过导入随机字段的数学形式主义，使许多新预测的分析计算成为可能。
在上个世纪，语言学家乔治·齐普夫（George Zipf）注意到，英语中第二常见的单词（“ of”）的使用频率是最常见的单词（“ the”）的一半，第三最常见的单词（“ and”）发生频率大约是三分之一，依此类推。这种奇特的行为，即每个单词的出现频率与其在单词列表中的排名成反比，被称为齐普夫定律。其他人也注意到城市人口的行为是相同的，即第二人口大城市的人口大约是人口第一城市的一半，第三人口大城市的人口占三分之一，依此类推。研究噪声背景下微弱信号的检测的科学家也开始注意到类似的效果，大多数系统具有噪声分量，其强度与频率成反比，即所谓的“ one-f”噪声。理论统计分析发现，在许多其他情况下，齐普夫定律或与其近似的定律可能是由于所考虑元素（无论是文字还是城市）的准随机分布而导致的。但是，有许多细微的差异，并且关于齐普夫定律的由来还没有达成共识。
当物质的密度超过某个临界值时，就会形成星系。拥有CfA天文学家的哈佛大学学生亨利·林（Henry Lin）和阿维·勒布（Avi Loeb）指出，就像星系一样，一旦城市人口超过某个临界值，城市也可能会形成，人口越大，城市越大。自从齐普夫定律适用于城市以来，他们调查了它是否也可能适用于星系，以及为什么会这样。他们没有关注法律是如何从特定情况下产生的，他们认为法律在所有统计系统中都是自然发生的，具有两个关键特性：二维几何（星系被投影到天空的二维平面上）和聚类行为与大小无关（“尺度不变性”），因此小区域看起来与大区域相同。科学家从数学上表明，具有这两个特征，自然会出现Zipf-Law行为。（当然，对于某些系统（例如单词），产生齐普夫定律字符的原因可能有所不同。）新理论可以推导齐普夫定律，并成功预测人口密度的波动。
研究报告的PDF副本：无标度几何的齐夫定律
