艺术家的概念表明，通过听回声可以生成房间的布局。
想象一下，一个扬声器放在一个装有几个麦克风的房间里。当扬声器发出声音脉冲时，随着声音从房间的每个墙壁回荡，麦克风会收到几个延迟的响应。这些一阶回声（在声音脉冲仅在墙壁上反弹一次之后听到）然后从每面墙反弹以产生二阶回声，依此类推。
下周在《 SIAM应用代数与几何》杂志上发表的一篇论文中，Mireille Boutin和Gregor Kemper试图利用无人机上安装的四个麦克风接收到的一阶回波来重建房间的形状。麦克风以刚性配置对齐，并且不在同一平面上。将麦克风放在无人驾驶飞机上而不是在整个房间中独立放置，揭示了新的应用领域。
普渡大学数学，电气和计算机工程教授布廷解释说：“麦克风会听到在有限的平面或壁上弹起的一声短促的声音。”“当麦克风听到在墙壁上反弹的声音时，会记录声音的发射和接收之间的时间差。这个时间差对应于声音在这段时间内传播的距离。”
每个一阶回声的时间延迟为作者提供了从每个麦克风到在每面墙上反射的源的镜像的一组距离。不可能识别出每个回声所对应的墙。根据麦克风的配置和房间的几何形状，麦克风甚至可能无法从给定的墙壁接收回声。
作者使用一种已知的建模技术来关注一阶回波。此方法将弹跳的声音解释为来自墙后的虚拟源而不是源于源，因此允许虚拟源点代表每个墙。
Boutin说：“发射和接收之间的时间差提供了麦克风和虚拟源点之间的距离。”“如果我们知道从这些虚拟源点之一到四个麦克风中每个麦克风的距离，我们可以恢复虚拟源的坐标，然后在墙壁上重建四个点，从而在包含墙壁的平面上进行重构。”
但是，麦克风无法确定与每个虚拟源点（即每个墙）相对应的距离。作为回应，Boutin和她的同事设计了一种方法来标记与每堵墙相关的距离，他们称之为“回声分类”。
回波排序技术使用多项式作为筛选测试，并发现四个距离是否位于四个变量中某个多项式的零集上。非零值表明距离不能从同一壁反弹。或者，如果多项式等于零，则距离可能来自同一壁。
这项研究表明，从四个麦克风获得的一阶回声重建房间是一个在通用条件下存在的理论问题。“这是解决相应现实问题的第一步，” Boutin说道。“如果问题没有解决的话，那么实际的解决方案将需要更多的信息。但是，由于我们知道它的位置合适，因此我们可以继续下一步：找到一种在回声测量嘈杂时重建房间的方法。”
这项任务绝非易事。某些无人机的放置会引起不适当地解决的问题，这表明该问题的嘈杂版本将很容易受到不适感的影响。要正确解决根据回声重建房间的问题，需要做更多的工作。
虽然数学框架仅要求非共面麦克风的刚性配置，但这项研究还具有其他潜在的应用范围。慕尼黑工业大学数学系教授格里戈尔·肯珀（Gregor Kemper）解释说：“这些麦克风可以放在房间内或任何车辆上，例如汽车，水下车辆或头盔上。”作者的日记纸列举了室内固定声源以及放置在车辆上的声源的示例，这些声源可能会因运动而旋转和平移；后面这些来源则显示出更为复杂的情况。
Kemper补充说：“移动的汽车在一种有趣的方式上与无人驾驶飞机或水下航行器不同。”“它的位置只有三个自由度-x轴，y轴和方向-而无人机则有六个自由度。我们的工作表明，这六个自由度几乎足以始终探测到墙壁，但这并不一定意味着三个自由度就足够了。汽车或任何地面车辆的情况是我们小组正在进行的研究的主题。”
对于此类问题，实现计算经济性是Boutin和Kemper的重要目标。他们的方法需要计算机代数系统来执行符号计算，这对于问题的其他变体可能在计算上变得更加复杂，从而将其扩展到类似问题。肯珀说：“找到一种计算成本较低的技术来证明相同的结果将是可取的，特别是如果这种方法原来适用于其他情况的话。”“我们的数学框架适用于基于地面的车辆，但是证明所需的实际计算提出了挑战。我们希望其他团队将探讨这个问题。”
