四个运动学元素构成了定量解决长期矛盾的基础，而这个矛盾一直困扰着为什么足球的鼻子会沿着球的轨迹旋转。
完美投掷的足球的标志是尖端围绕抛物线飞行轨迹的紧密螺旋状旋转。尖端为何沿着轨迹运动已经出现了一段时间的悖论。包括劳伦斯·利弗莫尔国家实验室（LLNL）的物理学家威利·莫斯（Willy Moss）在内的一组研究人员，在《美国物理学杂志》上以编辑推荐的方式发表了一篇论文，为这一悖论提供了简单的解决方案。
莫斯与麻省理工学院（MIT）的第一作者理查德·普赖斯（Richard Price）和内布拉斯加大学的合著者蒂姆·盖伊（Tim Gay）一起，将物理学提炼成两个简单的方程式，这些方程式可以通过数值求解。该解决方案说明了为什么球的尖端沿着球的轨迹运动。
莫斯说：“如果将一支笔放在飞行中的旋转足球的鼻子上，您会看到鼻子在飞行时围绕其运动方向绘制螺旋形，而不是中心有一个点。”“引力，足球上的风力和陀螺仪的结合是这种悖论的关键。但是，仅靠数值解决方案本身仍然无法帮助人们理解为什么球会做到这一点。”
数值解法阐明了基于陀螺仪奇数行为的简单定性解释。
莫斯说：“即使对于物理学家来说，陀螺仪的运动也不是直观的。”“只要接受以下行为为事实：如果您的陀螺仪是垂直旋转的，并且用手指推动陀螺仪的顶部，则陀螺仪将以与推动方向成直角的方向向左或向右移动，而不是沿推动方向移动。这就是这里发生的事情。”
由于重力的作用，球的旋转轴通常会略微倾斜，这意味着它的运动方向与其轨迹不同。唯一的例外是在投掷球的那一刻完美地抛出了螺旋传球。当球在空中行进时，风力沿与轨迹相反的方向推向球。推动倾斜球的风的功能类似于手指推动陀螺仪。旋转的球与推力成直角移动，并希望沿着当前轨迹跟踪一条称为“进动”的圆形路径。球的鼻子最终围绕风速方向画一个圆，随着重力改变轨迹，风速方向不断变化。
通过关注陀螺仪的行为以及风力与球的轨迹的相互作用，研究人员能够开发出定量的解决方案，以表征足球在飞行中的运动。本文介绍的定量解决方案中有四个关键的运动学要素：旋转的速度，两种不同类型的摆动（章动和进动）及其轨迹。
莫斯说：“一段时间以来，我一直对这种悖论感兴趣。”“我认识蒂姆已有50年了。我们一起踢了大学橄榄球。我们终于在一起发表了一篇论文。早就该这样了。”
参考：“美式足球螺旋式传球的悖论：“简单的解决方案”，Richard H. Price，William C. Moss和T. J. Gay于2020年8月19日发表在《美国物理学杂志》上。
10.1119/10.0001388
